L'indépendance, lue sur deux conditionnements

Les deux quantités. Comme $P(B)>0$ et $P(\overline{B})>0$, les deux probabilités conditionnelles sont définies. De plus $A$ se partage en $A\cap B$ et $A\cap \overline{B}$, incompatibles, donc $P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)$. Posons $q=P(B)$ et $t=P(A\cap B)$ : il s'agit de comparer $$P(A\mid B)=\frac{t}{q}\text{et}P(A\mid \overline{B})=\frac{P(A)-t}{1-q}.$$

Les produits croisés. Les dénominateurs étant strictement positifs, l'égalité des deux quotients équivaut à celle des produits croisés : $$t(1-q)=q(P(A)-t)⟺t-tq=qP(A)-qt⟺t=qP(A),$$ les termes $-tq$ et $-qt$ se simplifiant. Or $t=qP(A)$ s'écrit $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ : c'est exactement la définition de l'indépendance de $A$ et $B$.

Ainsi $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A\mid B)=P(A\mid \overline{B})$.

L'interprétation. L'indépendance dit que savoir si $B$ s'est produit ou non ne change pas la probabilité de $A$ : les deux conditionnements donnent le même nombre, et ce nombre est $P(A)$, puisque $P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A)$. À ne pas confondre avec l'incompatibilité : si $A$ et $B$ sont incompatibles de probabilités non nulles, alors $P(A\mid B)=0<P(A\mid \overline{B})$, et ils ne sont pas indépendants.