L'urne qui se renforce

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 6 — Probabilités et statistiques · Probabilités conditionnelles et formule de Bayes

Énoncé

Une urne contient $2$ boules blanches et $3$ noires. On tire une boule, on la remet et on ajoute $2$ boules de sa couleur, puis on tire une seconde boule. Quelle est la probabilité qu'elle soit blanche ? Sachant qu'elle l'est, quelle est celle que la première l'ait été aussi ?

Corrigé

Le modèle. Notons $B_{1}$ , $N_{1}$ la couleur du premier tirage et $B_{2}$ celle du second. Au départ l'urne compte $5$ boules, donc $P (B_{1}) = \frac{2}{5}$ et $P (N_{1}) = \frac{3}{5}$ . La famille $(B_{1}, N_{1})$ est un système complet d'événements.

Après le premier tirage l'urne compte $7$ boules :

si $B_{1}$ , elle contient $4$ blanches et $3$ noires : $P_{B_{1}} (B_{2}) = \frac{4}{7}$ ;
si $N_{1}$ , elle contient $2$ blanches et $5$ noires : $P_{N_{1}} (B_{2}) = \frac{2}{7}$ .

La formule des probabilités totales.

$P (B_{2}) = \frac{2}{5} \times \frac{4}{7} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{8}{35} + \frac{6}{35} = \frac{14}{35} = \frac{2}{5} .$

La seconde boule est blanche avec la même probabilité que la première, alors que la composition de l'urne a changé entre-temps. Ce n'est pas un hasard de calcul : avant de connaître la première couleur, rien ne distingue les deux tirages.

Bayes. On renverse le conditionnement :

$P_{B_{2}} (B_{1}) = \frac{P _{B_{1}} ( B _{2} ) P ( B _{1} )}{P ( B _{2} )} = \frac{\frac{8}{35}}{\frac{14}{35}} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} .$

Le point délicat. $\frac{4}{7} \approx 0, 57$ dépasse $\frac{2}{5} = 0, 40$ : observer une seconde boule blanche rend la première blanche plus vraisemblable. Les deux tirages ne sont donc pas indépendants, même si $P (B_{2}) = P (B_{1})$ — l'égalité des probabilités marginales ne dit rien de l'indépendance.

Le point à retenir. L'arbre se lit de gauche à droite pour les probabilités totales, de droite à gauche pour Bayes.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.