La moyenne de deux groupes

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 6 — Probabilités et statistiques · Statistiques descriptives

Énoncé

Un groupe de $n_{1}$ individus a pour moyenne $x ˉ_{1}$ , un second groupe de $n_{2}$ individus a pour moyenne $x ˉ_{2}$ . Montrer que la moyenne de la réunion des deux groupes vaut $x ˉ = \frac{n _{1} x ˉ _{1} + n _{2} x ˉ _{2}}{n _{1} + n _{2}}$ . Donner ensuite un exemple où $x ˉ$ n'est pas la moyenne de $x ˉ_{1}$ et $x ˉ_{2}$ .

Corrigé

La démonstration. Notons $x_{1}, \dots, x_{n_{1}}$ les valeurs du premier groupe et $y_{1}, \dots, y_{n_{2}}$ celles du second. Par définition de la moyenne, $i = 1 \sum n_{1} x_{i} = n_{1} x ˉ_{1}, j = 1 \sum n_{2} y_{j} = n_{2} x ˉ_{2} .$ La réunion compte $n = n_{1} + n_{2}$ individus, et la somme de toutes leurs valeurs est la somme des deux sommes partielles. Donc $x ˉ = \frac{1}{n _{1} + n _{2}} (i \sum x_{i} + j \sum y_{j}) = \frac{n _{1} x ˉ _{1} + n _{2} x ˉ _{2}}{n _{1} + n _{2}} .$

Un exemple. Une entreprise a $2$ cadres de salaire moyen $10$ (en milliers d'euros) et $8$ employés de salaire moyen $20$ . La moyenne globale vaut $x ˉ = \frac{2 \times 10 + 8 \times 20}{10} = \frac{20 + 160}{10} = 18,$ alors que la moyenne des deux moyennes vaut $\frac{10 + 20}{2} = 15$ . Les deux nombres diffèrent, et de beaucoup.

Pourquoi. La moyenne des moyennes traite les deux groupes à égalité ; la vraie moyenne les pondère par leurs effectifs. Elles coïncident si et seulement si $n_{1} = n_{2}$ — ou si $x ˉ_{1} = x ˉ_{2}$ , cas où la question ne se pose pas.

Une conséquence utile. La moyenne globale est toujours comprise entre $x ˉ_{1}$ et $x ˉ_{2}$ : c'est une moyenne pondérée à poids positifs de somme $1$ . Ici $10 \leq 18 \leq 20$ . C'est un contrôle immédiat, qui détecte la plupart des erreurs de calcul.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.