La variance se décompose en deux

Le point de départ. Par définition $n{s}^2=\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$, et l'on coupe la somme selon les deux groupes. Pour le premier, insérons ${\bar{x}}_1$ : $$\sum _{\text{gr. }1}(x_i-\bar{x}{)}^2=\sum _{\text{gr. }1}((x_i-{\bar{x}}_1)+({\bar{x}}_1-\bar{x}){)}^2.$$ En développant, le double produit fait apparaître ${\sum }_{\text{gr. }1}(x_i-{\bar{x}}_1)=0$ : il disparaît, et c'est lui qui fait toute la formule. Il reste $n_1{s}_1^2+n_1({\bar{x}}_1-\bar{x}{)}^2$, et de même pour le second groupe, d'où $$n{s}^2=n_1{s}_1^2+n_2{s}_2^2+n_1({\bar{x}}_1-\bar{x}{)}^2+n_2({\bar{x}}_2-\bar{x}{)}^2.$$

Le second bloc. La moyenne pondérée donne ${\bar{x}}_1-\bar{x}=\frac{n_2({\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2)}{n}$ et, symétriquement, ${\bar{x}}_2-\bar{x}=\frac{n_1({\bar{x}}_2-{\bar{x}}_1)}{n}$, donc $$n_1({\bar{x}}_1-\bar{x}{)}^2+n_2({\bar{x}}_2-\bar{x}{)}^2=\frac{n_1{n}_2^2+n_2{n}_1^2}{n^2}({\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2{)}^2=\frac{n_1{n}_2}{n}({\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2{)}^2.$$ En divisant par $n$, on obtient la formule annoncée.

L'interprétation. Le premier terme est la dispersion à l'intérieur des groupes, le second celle qui vient de l'écart entre les deux moyennes.

La vérification. Avec $(0,0)$ et $(10,10)$ : $n_1=n_2=2$, $n=4$, $s_1^2=s_2^2=0$, et la formule donne $s^2=\frac{2\times 2}{16}\times 100=25$. Directement, la série $(0,0,10,10)$ a pour moyenne $5$ et pour variance $25$.