Le crible à trois événements, et une majoration

Première application du crible. Écrivons $A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C$ et appliquons la formule à deux événements : $$P(A\cup B\cup C)=P(A\cup B)+P(C)-P((A\cup B)\cap C).$$

Le terme de gauche. Toujours par le crible, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Le terme d'intersection. L'intersection se distribue sur la réunion : $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$, et l'intersection de ces deux événements est $A\cap B\cap C$. Le crible s'applique de nouveau : $$P((A\cup B)\cap C)=P(A\cap C)+P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C).$$

Assemblage. En reportant les deux résultats dans la première égalité : $$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)+P(C)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C),$$ ce qui est la formule annoncée.

La majoration. Le crible à deux événements donne $P(A\cup B)\le P(A)+P(B)$, une probabilité étant positive ; en l'appliquant deux fois, $P(A\cup B\cup C)\le P(A)+P(B)+P(C)$.

Le cas d'égalité. Les deux inégalités employées sont des égalités lorsque $P((A\cup B)\cap C)=0$ et $P(A\cap B)=0$, c'est-à-dire lorsque $$P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)=0:$$ les trois événements sont deux à deux incompatibles, aux ensembles de probabilité nulle près. La majoration est sinon très large — si $A=B=C$ avec $P(A)=0,5$, la réunion vaut $0,5$ et la somme $1,5$.