Le dé choisit l'urne

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 6 — Probabilités et statistiques · Probabilités conditionnelles et formule de Bayes

Énoncé

On lance un dé équilibré. S'il donne $k$ , on tire une boule dans une urne contenant $k$ boules blanches et $6 - k$ boules noires. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule blanche ? Sachant qu'elle est blanche, quelle est la probabilité que le dé ait donné $6$ ? Et qu'il ait donné $k$ , pour $k$ quelconque ?

Corrigé

Le système complet. Notons $D_{k}$ l'événement « le dé donne $k$ », pour $k \in {1, \dots, 6}$ , et $B$ l'événement « la boule tirée est blanche ». Les $D_{k}$ sont deux à deux incompatibles, de probabilité $\frac{1}{6}$ chacun, et leur réunion est l'univers : ils forment un système complet d'événements.

Chaque urne contient $6$ boules dont $k$ blanches, donc $P (B ∣ D_{k}) = \frac{k}{6} .$

La formule des probabilités totales. $P (B) = k = 1 \sum 6 P (D_{k}) P (B ∣ D_{k}) = k = 1 \sum 6 \frac{1}{6} \times \frac{k}{6} = \frac{1}{36} k = 1 \sum 6 k = \frac{1}{36} \times \frac{6 \times 7}{2} = \frac{21}{36} = \frac{7}{12} .$

La formule de Bayes, pour $k = 6$ . $P (D_{6} ∣ B) = \frac{P ( D _{6} ) P ( B ∣ D _{6} )}{P ( B )} = \frac{\frac{1}{6} \times 1}{\frac{7}{12}} = \frac{1}{6} \times \frac{12}{7} = \frac{2}{7} \approx 0, 286.$ La probabilité est passée de $\frac{1}{6} \approx 0, 167$ à $\frac{2}{7}$ : savoir que la boule est blanche rend le $6$ nettement plus vraisemblable, ce qui est conforme à l'intuition puisque l'urne $6$ est la seule à ne contenir que du blanc.

Le cas général. Le même calcul donne, pour tout $k$ , $P (D_{k} ∣ B) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{k}{6}}{\frac{7}{12}} = \frac{k}{36} \times \frac{12}{7} = \frac{k}{21} .$

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.