Le paradoxe des anniversaires

import numpy.random as rd

def p_anniversaire(n):
    # p = probabilite que les n dates soient DEUX A DEUX DISTINCTES
    p = 1.0
    for k in range(n):
        p = p * (365 - k) / 365
    return 1 - p

def simulation(n, tirages=100000):
    succes = 0
    for _ in range(tirages):
        dates = [rd.randint(0, 365) for _ in range(n)]
        if len(set(dates)) < n:
            succes = succes + 1
    return succes / tirages

Le calcul passe par l'événement contraire : que les $n$ dates soient deux à deux distinctes. La première personne est libre, la deuxième doit éviter $1$ date, la troisième $2$, et ainsi de suite :

$$P(\text{aucune coı¨ncidence})=\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \cdots \times \frac{365-n+1}{365}.$$

Le seuil est $n=23$ : la probabilité y vaut $0,5073$, contre $0,4757$ pour $n=22$. La simulation sur $10^5$ tirages donne environ $0,507$ à $0,003$ près — compatible.

Pourquoi cela surprend. On pense au nombre de personnes ($23$ pour $365$ jours), alors que ce qui compte est le nombre de paires : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{2}\right)=253$, du même ordre que $365$. La question « quelqu'un partage-t-il mon anniversaire ? » est tout autre, et demande $253$ personnes pour atteindre une chance sur deux.