Le paradoxe des anniversaires

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 6 — Probabilités et statistiques · Calculer une probabilité

Énoncé

Le paradoxe des anniversaires. Écrire une fonction Python qui calcule la probabilité qu'au moins deux personnes parmi $n$ partagent leur date de naissance. À partir de quel $n$ dépasse-t-elle $\frac{1}{2}$ ? Comparer à une simulation.

Corrigé


import numpy.random as rd

def p_anniversaire(n):
    # p = probabilite que les n dates soient DEUX A DEUX DISTINCTES
    p = 1.0
    for k in range(n):
        p = p * (365 - k) / 365
    return 1 - p

def simulation(n, tirages=100000):
    succes = 0
    for _ in range(tirages):
        dates = [rd.randint(0, 365) for _ in range(n)]
        if len(set(dates)) < n:
            succes = succes + 1
    return succes / tirages

Le calcul passe par l'événement contraire : que les $n$ dates soient deux à deux distinctes. La première personne est libre, la deuxième doit éviter $1$ date, la troisième $2$ , et ainsi de suite :

$P (aucune co ı ¨ ncidence) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \dots \times \frac{365 - n + 1}{365} .$

Le seuil est $n = 23$ : la probabilité y vaut $0, 5073$ , contre $0, 4757$ pour $n = 22$ . La simulation sur $1 0^{5}$ tirages donne environ $0, 507$ à $0, 003$ près — compatible.

Pourquoi cela surprend. On pense au nombre de personnes ( $23$ pour $365$ jours), alors que ce qui compte est le nombre de paires : $(2 23) = 253$ , du même ordre que $365$ . La question « quelqu'un partage-t-il mon anniversaire ? » est tout autre, et demande $253$ personnes pour atteindre une chance sur deux.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.