Les trois portes

Le modèle. Notons $G_i$ l'événement « le lot est derrière la porte $i$ ». La famille $(G_1,G_2,G_3)$ est un système complet d'événements, avec $P(G_1)=P(G_2)=P(G_3)=\frac{1}{3}$. Notons $O_3$ l'événement « le présentateur ouvre la porte $3$ ».

Les probabilités conditionnelles. Elles traduisent la règle du jeu :

• si $G_1$, les portes $2$ et $3$ sont vides toutes les deux, et il choisit au hasard : $P_{G_1}(O_3)=\frac{1}{2}$ ;
• si $G_2$, il ne peut ouvrir ni la $1$ (désignée) ni la $2$ (le lot) : $P_{G_2}(O_3)=1$ ;
• si $G_3$, il n'ouvrira pas la porte du lot : $P_{G_3}(O_3)=0$.

La formule des probabilités totales.

$$P(O_3)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\times 1+\frac{1}{3}\times 0=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}.$$

Bayes. On renverse le conditionnement :

$$P_{O_3}(G_1)=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3},P_{O_3}(G_2)=\frac{1\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}.$$

Conclusion. Changer de porte fait passer la probabilité de gagner de $\frac{1}{3}$ à $\frac{2}{3}$ : le candidat a tout intérêt à changer.

Le point délicat. L'ouverture n'apporte aucune information sur la porte $1$ — le présentateur pouvait toujours ouvrir une porte vide — mais elle en apporte sur la porte $2$, car son choix dépend de l'emplacement du lot. C'est ce que chiffrent les trois probabilités conditionnelles.

Le point à retenir. Conditionner exige d'écrire la règle qui produit l'observation. Changez cette règle — un présentateur qui ouvrirait au hasard — et la réponse change.