Quartiles et écart interquartile

La règle. Un quantile d'ordre $\alpha$ est une valeur $q$ telle qu'au moins une proportion $\alpha$ des observations lui soit inférieure ou égale, et au moins $1-\alpha$ supérieure ou égale. La série compte $n=8$ observations.

Le premier quartile ($\alpha =\frac{1}{4}$). Il faut au moins $\frac{1}{4}\times 8=2$ observations inférieures ou égales à $Q_1$, et au moins $\frac{3}{4}\times 8=6$ supérieures ou égales. La valeur $5$ convient : deux observations lui sont inférieures ou égales ($3$ et $5$), et sept lui sont supérieures ou égales. Donc $Q_1=5$.

La médiane ($\alpha =\frac{1}{2}$). Il faut au moins $4$ observations de chaque côté. L'effectif étant pair, on prend la demi-somme des deux valeurs centrales, la quatrième et la cinquième : $$Q_2=\frac{8+9}{2}=8,5.$$

Le troisième quartile ($\alpha =\frac{3}{4}$). Il faut au moins $6$ observations inférieures ou égales et au moins $2$ supérieures ou égales. La valeur $11$ convient : six observations lui sont inférieures ou égales, et trois supérieures ou égales. Donc $Q_3=11$.

L'écart interquartile. $$Q_3-Q_1=11-5=6.$$ L'intervalle $[5;11]$ contient la moitié centrale des observations. À comparer à l'étendue, $20-3=17$ : l'écart interquartile est bien plus petit parce qu'il ignore les valeurs extrêmes — son intérêt sur une série où l'on soupçonne des valeurs aberrantes, ici le $20$.