Quatre comptages, quatre modèles

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 6 — Probabilités et statistiques · Dénombrement et coefficients binomiaux

Énoncé

Compter : (a) les codes de $4$ chiffres ; (b) les codes de $4$ chiffres deux à deux distincts ; (c) les mains de $5$ cartes tirées d'un jeu de $32$ ; (d) les parties à $3$ éléments d'un ensemble à $7$ éléments. Préciser à chaque fois si l'ordre compte et s'il y a répétition.

Corrigé

(a) Codes de $4$ chiffres. L'ordre compte ( $1234 \neq = 4321$ ) et les répétitions sont permises. Chacune des quatre positions se remplit indépendamment par l'un des $10$ chiffres : $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 1 0^{4} = 10 000.$

(b) Codes de $4$ chiffres distincts. L'ordre compte toujours, mais sans répétition : le premier chiffre a $10$ possibilités, le deuxième $9$ (tous sauf celui déjà employé), le troisième $8$ , le quatrième $7$ : $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040.$ On remarquera que ces $5040$ codes ne représentent qu'environ la moitié des $10000$ : la contrainte est plus lourde qu'il n'y paraît.

(c) Mains de $5$ cartes. Une main est un ensemble : l'ordre dans lequel on reçoit les cartes ne compte pas, et il n'y a pas de répétition. C'est donc un coefficient binomial : $(5 32) = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{5 !} = \frac{24 165 120}{120} = 201 376.$

(d) Parties à $3$ éléments parmi $7$ . Même modèle, ordre indifférent et pas de répétition : $(3 7) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35.$ La question à se poser en premier est toujours celle de l'ordre : quand il ne compte pas, on divise le nombre de listes par $k!$ , et c'est cette division qui fait apparaître le coefficient binomial.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.