Tirages sans remise

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 6 — Probabilités et statistiques · Calculer une probabilité

Énoncé

Une urne contient $5$ boules blanches et $3$ noires. On en tire $3$ sans remise. Probabilité d'obtenir exactement $2$ blanches ? au moins une noire ?

Corrigé

Les tirages étant simultanés (ou successifs sans remise, ce qui revient au même pour la composition), on compte des parties : il y a $(3 8) = 56$ tirages possibles, équiprobables.

Exactement $2$ blanches : on choisit $2$ blanches parmi $5$ et $1$ noire parmi $3$ :

$P = \frac{( 2 5 ) ( 1 3 )}{( 3 8 )} = \frac{10 \times 3}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28} \approx 0, 536.$

Au moins une noire : on passe par l'événement contraire, « aucune noire », c'est-à-dire « les trois sont blanches » :

$P = 1 - \frac{( 3 5 )}{( 3 8 )} = 1 - \frac{10}{56} = \frac{46}{56} = \frac{23}{28} \approx 0, 821.$

Le passage au complémentaire évite d'additionner les cas « une noire », « deux noires », « trois noires ». Dès qu'un énoncé dit « au moins un », c'est le premier réflexe.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.