Trois coefficients binomiaux

Le premier. La formule explicite donne $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=\frac{10!}{2!8!}=\frac{10\times 9}{2}=45.$$ On n'écrit jamais $10!$ en entier : on simplifie d'abord par $8!$, ce qui ne laisse que les deux facteurs $10$ et $9$ au numérateur.

Le deuxième. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{0}\right)=\frac{7!}{0!7!}=1$, avec la convention $0!=1$. Le compte est immédiat : il y a exactement une partie à $0$ élément d'un ensemble à $7$ éléments, l'ensemble vide.

Le troisième. Par la symétrie $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k}\right)$ appliquée à $k=n-1$ : $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)=n.$$ Le comptage le confirme : choisir $n-1$ éléments parmi $n$, c'est choisir celui qu'on écarte, et il y a $n$ façons de le faire.

La symétrie sur le premier. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)$ doit être égal à $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{8}\right)$. En effet $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{8}\right)=\frac{10!}{8!2!}=45,$$ c'est exactement la même fraction, les deux factorielles du dénominateur ayant seulement échangé leur place. Choisir $2$ éléments à prendre parmi $10$ ou en choisir $8$ à laisser sont deux descriptions de la même opération.