Trois délégués, avec ou sans rôles

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 6 — Probabilités et statistiques · Dénombrement

Énoncé

Dans une classe de $20$ élèves, de combien de façons peut-on choisir $3$ délégués ? Et si l'on doit désigner un président, un secrétaire et un trésorier, tous distincts ? Quel lien y a-t-il entre les deux nombres ?

Corrigé

Sans les rôles. Une délégation est un ensemble de $3$ élèves : l'ordre dans lequel on les nomme ne change rien. C'est donc un coefficient binomial : $(3 20) = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = \frac{6840}{6} = 1140.$

Avec les rôles. Ici l'ordre compte : donner la présidence à Anne ou à Bruno ne produit pas la même équipe. On choisit le président parmi $20$ , le secrétaire parmi les $19$ restants, le trésorier parmi les $18$ restants : $20 \times 19 \times 18 = 6840.$

Le lien. Le second nombre vaut $6$ fois le premier, et $6 = 3!$ . C'est le nombre de façons de distribuer les trois rôles à trois personnes déjà choisies. Autrement dit : $avec r o ˆ les 6840 = sans r o ˆ les 1140 \times r e ˊ partition des r o ˆ les 3! .$

La règle générale. C'est ce qui définit le coefficient binomial : $(k n) = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{k !},$ le numérateur comptant les listes ordonnées et le dénominateur effaçant l'ordre. Devant un problème de dénombrement, la première question est donc toujours : l'ordre compte-t-il ?

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.