Trois délégués, avec ou sans rôles

Sans les rôles. Une délégation est un ensemble de $3$ élèves : l'ordre dans lequel on les nomme ne change rien. C'est donc un coefficient binomial : $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{3}\right)=\frac{20\times 19\times 18}{3\times 2\times 1}=\frac{6840}{6}=1140.$$

Avec les rôles. Ici l'ordre compte : donner la présidence à Anne ou à Bruno ne produit pas la même équipe. On choisit le président parmi $20$, le secrétaire parmi les $19$ restants, le trésorier parmi les $18$ restants : $$20\times 19\times 18=6840.$$

Le lien. Le second nombre vaut $6$ fois le premier, et $6=3!$. C'est le nombre de façons de distribuer les trois rôles à trois personnes déjà choisies. Autrement dit : $$\underset{\text{avec roˆles}}{\underbrace{6840}}=\underset{\text{sans roˆles}}{\underbrace{1140}}\times \underset{\text{reˊpartition des roˆles}}{\underbrace{3!}}.$$

La règle générale. C'est ce qui définit le coefficient binomial : $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!},$$ le numérateur comptant les listes ordonnées et le dénominateur effaçant l'ordre. Devant un problème de dénombrement, la première question est donc toujours : l'ordre compte-t-il ?