Trois tirages sans remise, et une surprise

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 6 — Probabilités et statistiques · Probabilités conditionnelles et formule de Bayes

Énoncé

Une urne contient $3$ boules blanches et $2$ boules noires. On tire trois boules successivement, sans remise. Calculer la probabilité d'obtenir, dans cet ordre, blanche puis noire puis blanche. Calculer ensuite la probabilité que la deuxième boule tirée soit blanche, et comparer à celle que la première le soit.

Corrigé

Le premier calcul, par les probabilités composées. Notons $B_{i}$ l'événement « la $i$ -ième boule est blanche » et $N_{i}$ son contraire. La formule des probabilités composées donne $P (B_{1} \cap N_{2} \cap B_{3}) = P (B_{1}) P (N_{2} ∣ B_{1}) P (B_{3} ∣ B_{1} \cap N_{2}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{5},$ les trois facteurs se lisant sur la composition de l'urne à chaque étape : $3$ blanches sur $5$ , puis $2$ noires sur $4$ , puis $2$ blanches sur $3$ .

Le second calcul, par les probabilités totales. $(B_{1}, N_{1})$ est un système complet d'événements — incompatibles, de probabilités non nulles, de réunion l'univers — donc $P (B_{2}) = P (B_{1}) P (B_{2} ∣ B_{1}) + P (N_{1}) P (B_{2} ∣ N_{1}) .$ Si la première est blanche, il reste $2$ blanches sur $4$ ; si elle est noire, $3$ sur $4$ . D'où $P (B_{2}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} .$

La comparaison. $P (B_{2}) = \frac{3}{5} = P (B_{1})$ : la deuxième boule a exactement la même probabilité d'être blanche que la première.

Pourquoi ce n'est pas un hasard. Aucun tirage n'est privilégié : avant de regarder quoi que ce soit, les cinq boules ont la même chance d'occuper la deuxième place. Le résultat vaut pour tous les rangs — on montrerait de même $P (B_{3}) = \frac{3}{5}$ . C'est ce qui justifie qu'à une loterie, l'ordre de tirage des billets n'avantage personne.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.