Un coefficient binomial, deux fois

Probabilités et statistiques · Dénombrement et coefficients binomiaux · niveau 1 (application)

Énoncé

Calculer $(3 8)$ par la formule explicite, puis vérifier par le triangle de Pascal.

Par la formule :

$(3 8) = \frac{8 !}{3 ! 5 !} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56 .$

On n'écrit jamais $8!$ en entier : on simplifie par $5!$ d'abord, et il ne reste que trois facteurs au numérateur — autant que le $3$ du bas.

Par le triangle, ligne après ligne, avec $(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)$ :

$n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 11115678101521281020355651535701621561728181$

On lit bien $56$ en quatrième position ( $k = 3$ ) de la ligne $n = 8$ .

Le triangle ne fait que des additions : c'est ce qui le rend robuste en calcul, là où la formule explicite manipule des factorielles vite énormes.