Un dé, deux événements

L'univers. $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$, avec équiprobabilité : chaque issue a la probabilité $\frac{1}{6}$, et la probabilité d'un événement est le quotient de son cardinal par $6$.

Un nombre pair. $A=\{2,4,6\}$, donc $$P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$

Un multiple de $3$. $B=\{3,6\}$, donc $$P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$

L'un ou l'autre. L'événement cherché est $A\cup B$. Attention : les deux événements ne sont pas incompatibles, puisque $6$ appartient aux deux. On ne peut donc pas ajouter les probabilités sans correction. La formule du crible donne $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),$$ avec $A\cap B=\{6\}$ et $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$. D'où $$P(A\cup B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{3+2-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$

Contrôle direct. $A\cup B=\{2,3,4,6\}$, qui a $4$ éléments : la probabilité vaut $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Les deux méthodes concordent.

L'erreur à éviter. Ajouter $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$ reviendrait à compter deux fois l'issue $6$. C'est exactement ce que le terme retranché corrige.