Un roi ou un cœur

Notons $R$ « la carte est un roi » et $C$ « la carte est un cœur ». Dans un jeu de $32$ cartes il y a $4$ rois et $8$ cœurs, et une carte est les deux à la fois : le roi de cœur.

La formule du crible donne

$$P(R\cup C)=P(R)+P(C)-P(R\cap C)=\frac{4}{32}+\frac{8}{32}-\frac{1}{32}=\frac{11}{32}\approx 0,344.$$

Retrancher $P(R\cap C)$ n'est pas facultatif : sans cela le roi de cœur serait compté deux fois et l'on trouverait $\frac{12}{32}$. Les deux événements ne sont pas incompatibles.

On remarquera au passage qu'ils sont indépendants : $\frac{4}{32}\times \frac{8}{32}=\frac{1}{32}$. Incompatible et indépendant sont deux notions différentes — ici même opposées.