Une série groupée, et une valeur aberrante

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 6 — Probabilités et statistiques · Statistiques descriptives

Énoncé

Un caractère prend les valeurs $2$ , $5$ et $8$ avec les effectifs $3$ , $4$ et $3$ . Calculer la moyenne, la variance par la formule de Koenig et la médiane. Que deviennent moyenne et médiane si l'une des observations égales à $8$ est remplacée par $80$ ?

Corrigé

L'effectif total est $n = 3 + 4 + 3 = 10$ .

Moyenne. En regroupant par valeur,

$x ˉ = \frac{1}{10} (3 \times 2 + 4 \times 5 + 3 \times 8) = \frac{6 + 20 + 24}{10} = \frac{50}{10} = 5.$

Variance par Koenig. La formule $s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - x ˉ^{2}$ évite de calculer les dix écarts à la moyenne :

$\frac{1}{10} \sum x_{i}^{2} = \frac{3 \times 4 + 4 \times 25 + 3 \times 64}{10} = \frac{12 + 100 + 192}{10} = 30, 4,$

donc $s_{x}^{2} = 30, 4 - 5^{2} = 5, 4$ , et $s_{x} = 5, 4 \approx 2, 32$ .

Médiane. Rangée, la série est $2, 2, 2, 5, 5, 5, 5, 8, 8, 8$ . Avec $n = 10$ pair, la médiane est la demi-somme des cinquième et sixième observations : $\frac{5 + 5}{2} = 5$ .

L'observation aberrante. La somme devient $50 - 8 + 80 = 122$ , donc $x ˉ = 12, 2$ : la moyenne fait plus que doubler. La série rangée devient $2, 2, 2, 5, 5, 5, 5, 8, 8, 80$ ; les cinquième et sixième observations valent toujours $5$ , donc la médiane ne bouge pas.

Le point à retenir. Une seule observation extrême déplace la moyenne autant qu'on veut, puisqu'elle y entre proportionnellement à sa valeur ; la médiane ne dépend que du rang des observations, jamais de leur grandeur. C'est pourquoi on publie des revenus médians.

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