Une série groupée, et une valeur aberrante

L'effectif total est $n=3+4+3=10$.

Moyenne. En regroupant par valeur,

$$\bar{x}=\frac{1}{10}(3\times 2+4\times 5+3\times 8)=\frac{6+20+24}{10}=\frac{50}{10}=5.$$

Variance par Koenig. La formule $s_x^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2$ évite de calculer les dix écarts à la moyenne :

$$\frac{1}{10}\sum x_i^2=\frac{3\times 4+4\times 25+3\times 64}{10}=\frac{12+100+192}{10}=30,4,$$

donc $s_x^2=30,4-5^2=5,4$, et $s_x=\sqrt{5,4}\approx 2,32$.

Médiane. Rangée, la série est $2,2,2,5,5,5,5,8,8,8$. Avec $n=10$ pair, la médiane est la demi-somme des cinquième et sixième observations : $\frac{5+5}{2}=5$.

L'observation aberrante. La somme devient $50-8+80=122$, donc $\bar{x}=12,2$ : la moyenne fait plus que doubler. La série rangée devient $2,2,2,5,5,5,5,8,8,80$ ; les cinquième et sixième observations valent toujours $5$, donc la médiane ne bouge pas.

Le point à retenir. Une seule observation extrême déplace la moyenne autant qu'on veut, puisqu'elle y entre proportionnellement à sa valeur ; la médiane ne dépend que du rang des observations, jamais de leur grandeur. C'est pourquoi on publie des revenus médians.