Une série statistique complète

Moyenne : $\bar{x}=\frac{4+7+7+9+13}{5}=\frac{40}{5}=8$.

Médiane : la série est déjà rangée et compte $5$ valeurs ; la médiane est la troisième, soit $7$. Elle diffère de la moyenne — la valeur $13$ tire cette dernière vers le haut.

Étendue : $13-4=9$.

Variance, par la définition :

$$s^2=\frac{(-4{)}^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2+1^2+5^2}{5}=\frac{16+1+1+1+25}{5}=\frac{44}{5}=8,8.$$

Variance, par Koenig-Huygens : la moyenne des carrés vaut $\frac{16+49+49+81+169}{5}=\frac{364}{5}=72,8$, d'où

$$s^2=72,8-8^2=72,8-64=8,8.$$

Les deux méthodes concordent. L'écart-type vaut $s=\sqrt{8,8}\approx 2,97$.

La formule de Koenig est la plus commode en calcul : elle ne demande qu'un seul passage sur les données, pour accumuler $\sum x_i$ et $\sum x_i^2$, là où la définition impose de connaître $\bar{x}$ avant de commencer.