Ce que le pivot ne change pas

Ce qu'on montre. Une égalité d'ensembles, donc deux inclusions.

Première inclusion. Soit $x\in \mathrm{Vect}(u,v+\lambda u)$ : il existe $a,b$ réels tels que $x=au+b(v+\lambda u)$. En développant,

$$x=(a+b\lambda )u+bv,$$

qui est une combinaison linéaire de $u$ et $v$. Donc $\mathrm{Vect}(u,v+\lambda u)\subset \mathrm{Vect}(u,v)$.

Seconde inclusion. Soit $x\in \mathrm{Vect}(u,v)$ : $x=\alpha u+\beta v$. Or $v=(v+\lambda u)-\lambda u$, d'où

$$x=\alpha u+\beta ((v+\lambda u)-\lambda u)=(\alpha -\beta \lambda )u+\beta (v+\lambda u),$$

combinaison linéaire de $u$ et $v+\lambda u$. Donc $\mathrm{Vect}(u,v)\subset \mathrm{Vect}(u,v+\lambda u)$.

Les deux inclusions donnent l'égalité.

Conséquence sur le rang. Le rang d'une famille est par définition la dimension du sous-espace qu'elle engendre. L'égalité qu'on vient d'établir dit que remplacer $v$ par $v+\lambda u$ laisse cet espace inchangé : sa dimension aussi. Le raisonnement se transpose mot pour mot à une famille de $p$ vecteurs $(u_1,\dots ,u_p)$ dont on remplace $u_j$ par $u_j+\lambda u_i$, avec $i\ne j$ — les autres vecteurs ne bougeant pas.

Pourquoi c'est utile. C'est exactement ce que fait chaque étape du pivot de Gauss. La justification qu'on vient d'écrire est la raison pour laquelle on a le droit de lire le rang d'une matrice sur sa forme échelonnée plutôt que sur la matrice de départ.

Attention à l'hypothèse $i\ne j$. Remplacer $u$ par $u+\lambda u=(1+\lambda )u$ avec $\lambda =-1$ donnerait le vecteur nul et ferait chuter le rang : l'opération licite ajoute le multiple d'une autre ligne.