Compléter une famille libre en une base

La famille $(u,v)$ est libre. Si $au+bv=0$, alors $(a,a+b,b)=(0,0,0)$, d'où $a=0$ et $b=0$ en lisant la première et la troisième coordonnée. Aucune relation non triviale : la famille est libre.

Avec $w=(0,0,1)$. Cherchons $a,b,c$ tels que $au+bv+cw=0$ :

$$\{\begin{array}{rl}a& =0\\ a+b& =0\\ b+c& =0\end{array}$$

La première ligne donne $a=0$, la deuxième $b=0$, la troisième $c=0$. La famille $(u,v,w)$ est donc libre. Elle compte $3$ vecteurs dans ${\mathbb{R}}^3$, qui est de dimension $3$ : d'après le résultat admis du cours, une famille libre de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$ est une base. C'est donc une base de ${\mathbb{R}}^3$.

Avec $w=(1,2,1)$. On observe que $u+v=(1+0,1+1,0+1)=(1,2,1)=w$. La relation $u+v-w=0$ est une relation de dépendance à coefficients non tous nuls : la famille $(u,v,w)$ est liée, donc ce n'est pas une base. Elle engendre d'ailleurs seulement le plan $\mathrm{Vect}(u,v)$, de dimension $2$.

Le point délicat. Le second $w$ n'était pas au hasard : il appartient déjà à $\mathrm{Vect}(u,v)$. Compléter une famille libre en une base, c'est précisément choisir un vecteur hors de l'espace qu'elle engendre — le vérifier est le seul travail réel de l'exercice.