Composer, c'est multiplier

Les deux matrices. Les colonnes sont les images des vecteurs des bases canoniques : $f(1,0)=(1,1,0)$ et $f(0,1)=(1,-1,2)$ ; $g(1,0,0)=(1,0)$, $g(0,1,0)=(0,1)$ et $g(0,0,1)=(1,-1)$. D'où

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\\ 0& 2\end{array}\right)(3\times 2),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right)(2\times 3).$$

Le composé, directement. Pour $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$g(f(x,y))=g(x+y,x-y,2y)=((x+y)+2y,(x-y)-2y)=(x+3y,x-3y).$$

Sa matrice dans les bases canoniques est donc $\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& -3\end{array}\right)$.

Par le produit. Le produit $BA$ est une matrice $2\times 2$ :

$$BA=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 0& 1\cdot 1+0\cdot (-1)+1\cdot 2\\ 0\cdot 1+1\cdot 1+(-1)\cdot 0& 0\cdot 1+1\cdot (-1)+(-1)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& -3\end{array}\right).$$

Les deux calculs coïncident : c'est le résultat du cours selon lequel la matrice de $g\circ f$ est le produit de la matrice de $g$ par celle de $f$, dans cet ordre.

Injectivité. $(x,y)\in \ker (g\circ f)$ si et seulement si $x+3y=0$ et $x-3y=0$. En additionnant : $2x=0$, donc $x=0$, puis $y=0$. Le noyau est réduit à $\{0\}$, donc $g\circ f$ est injective.

Attention à l'ordre. $A$ est $3\times 2$ et $B$ est $2\times 3$ : le produit $AB$ existe aussi, mais c'est une matrice $3\times 3$ — celle de $f\circ g:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$, une tout autre application, qui elle n'est pas injective (son noyau est de dimension au moins $1$ par le théorème du rang, puisque son rang vaut au plus $2$).