Deux familles de deux vecteurs

Première famille. On observe que $(2,4,6)=2\times (1,2,3)$. La relation

$$2(1,2,3)-1(2,4,6)=(0,0,0)$$

a des coefficients non tous nuls : la famille est liée. Le sous-espace qu'elle engendre est donc la droite $\mathrm{Vect}((1,2,3))$, de dimension $1$ : le rang de la famille vaut $1$.

Seconde famille. Cherchons $a,b$ tels que $a(1,2,3)+b(2,4,7)=(0,0,0)$, soit

$$\{\begin{array}{rl}a+2b& =0\\ 2a+4b& =0\\ 3a+7b& =0\end{array}$$

La première équation donne $a=-2b$. En reportant dans la troisième : $-6b+7b=b=0$, d'où $b=0$ puis $a=0$. La seule relation est la relation triviale : la famille est libre, et son rang vaut $2$.

Le critère à retenir pour deux vecteurs. Une famille de deux vecteurs est liée si et seulement si l'un est multiple de l'autre. C'est ce qui distingue les deux cas ici : la troisième coordonnée passe de $6$ à $7$, et la proportionnalité est rompue.