Deux familles de trois vecteurs

La première famille. Cherchons les $(a,b,c)$ tels que $a(1,2,3)+b(0,1,1)+c(1,0,1)=(0,0,0)$, soit

$$\{\begin{array}{l}a+c=0\\ 2a+b=0\\ 3a+b+c=0\end{array}$$

Les deux premières donnent $c=-a$ et $b=-2a$. Reportées dans la troisième : $3a-2a-a=0$, vraie pour tout $a$. Le système a donc d'autres solutions que la solution nulle, par exemple $a=1$, $b=-2$, $c=-1$, et l'on vérifie

$$(1,2,3)-2(0,1,1)-(1,0,1)=(0,0,0).$$

La famille est liée, donc ce n'est pas une base : elle n'engendre qu'un plan.

La seconde famille. Le système devient

$$\{\begin{array}{l}a+c=0\\ 2a+b=0\\ 3a+b-c=0\end{array}$$

Toujours $c=-a$ et $b=-2a$ ; la troisième équation donne cette fois $3a-2a+a=2a=0$, donc $a=0$, puis $b=0$ et $c=0$. La famille est libre.

Conclusion. Elle compte trois vecteurs et $\dim {\mathbb{R}}^3=3$ : d'après le théorème sur les cardinaux, une famille libre de $d$ vecteurs dans un espace de dimension $d$ est une base. La seconde famille est donc une base de ${\mathbb{R}}^3$ — et il était inutile de vérifier qu'elle est génératrice.

Le point à retenir. Deux familles qui ne diffèrent que par un signe : la liberté ne se devine pas, elle se calcule. Et quand on connaît déjà la dimension, une seule des deux propriétés suffit.