Deux lignes égales

Ce qu'on emploie. Le résultat admis $\mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}({}^{t}M)$ et le théorème du rang. L'hypothèse porte sur les lignes ; le rang est défini à partir des colonnes : la transposée est le pont entre les deux.

Majoration du rang. Notons $L_1,L_2,L_3$ les lignes de $M$, avec $L_2=L_1$. Les colonnes de ${}^{t}M$ sont exactement $L_1,L_2,L_3$, vues comme vecteurs de ${\mathbb{R}}^3$. Comme $L_2=L_1$, on a

$$\mathrm{Vect}(L_1,L_2,L_3)=\mathrm{Vect}(L_1,L_3),$$

espace engendré par deux vecteurs, donc de dimension au plus $2$. Ainsi $\mathrm{rg}({}^{t}M)\le 2$, et par le résultat admis $\mathrm{rg}(M)\le 2$.

Le noyau n'est pas réduit à $0$. Le théorème du rang donne

$$\dim \ker f=3-\mathrm{rg}(M)\ge 3-2=1>0,$$

donc $\ker f$ contient un vecteur non nul : $f$ n'est pas injective, et $M$ n'est pas inversible.

Un exemple de rang $2$. Prenons

$$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right).$$

Ses deux premières lignes sont égales. Ses colonnes sont $C_1=(1,1,0)$, $C_2=(0,0,1)$ et $C_3=(0,0,0)$. La famille $(C_1,C_2)$ est libre (aucun des deux n'est multiple de l'autre) et $C_3$ est nulle, donc $\mathrm{Im}f=\mathrm{Vect}(C_1,C_2)$ est de dimension $2$ : $\mathrm{rg}(M)=2$. La majoration est donc atteinte.

Ce qu'il ne faut pas croire. La conclusion n'est pas $\mathrm{rg}(M)=2$ : la matrice nulle a elle aussi deux premières lignes égales, et son rang vaut $0$.