Deux parties qui n'en sont pas

La partie $A$. Le vecteur nul $(0,0,0)$ vérifie $0+0+0=0\ne 2$ : il n'appartient pas à $A$. Or tout sous-espace vectoriel contient le vecteur nul. Donc $A$ n'est pas un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$.

C'est le réflexe à avoir devant une équation non homogène : le second membre non nul disqualifie immédiatement.

La partie $B$. Ici le vecteur nul convient : $0=0^2$, donc $(0,0)\in B$. Il faut donc regarder la stabilité. Prenons $u=(1,1)\in B$, car $1=1^2$. Alors

$$2u=(2,2),\text{et}{2}^2=4\ne 2.$$

Donc $2u\notin B$ : la partie n'est pas stable par multiplication par un réel, ce n'est pas un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^2$.

Ce que l'exercice illustre. Le test « contient $0$ » écarte $A$ tout de suite, mais il ne conclut jamais dans l'autre sens : $B$ le passe et n'est pourtant pas un sous-espace. La parabole est une courbe, pas une droite.