Deux stabilités qui ne se déduisent pas l'une de l'autre

Ce qu'on doit montrer. Un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^2$ contient $0$ et est stable par combinaison linéaire ; il est en particulier stable par somme et par multiplication par un réel quelconque. On va voir que chacune des deux parties vérifie une seule de ces deux stabilités.

La partie $A$ est stable par somme, pas par multiplication. Si $(x,y)$ et $(x^{\prime },y^{\prime })$ sont dans $A$, alors $x+x^{\prime }\ge 0$ et $y+y^{\prime }\ge 0$, donc la somme est dans $A$. En revanche $(1,1)\in A$ tandis que $(-1)\cdot (1,1)=(-1,-1)\notin A$, car $-1<0$. Donc $A$ n'est pas un sous-espace vectoriel.

La partie $B$ est stable par multiplication, pas par somme. Si $x^2=y^2$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors $(\lambda x{)}^2={\lambda }^2{x}^2={\lambda }^2{y}^2=(\lambda y{)}^2$ : $\lambda (x,y)\in B$. En revanche $(1,1)\in B$ et $(1,-1)\in B$, alors que leur somme $(2,0)$ vérifie $2^2=4\ne 0=0^2$ : elle n'est pas dans $B$. Donc $B$ n'est pas non plus un sous-espace vectoriel.

Le point délicat. Les deux parties contiennent $(0,0)$ : la condition « contient $0$ » ne suffit donc jamais à conclure. Et aucune des deux stabilités n'entraîne l'autre — c'est exactement ce que ces deux exemples séparent. Géométriquement, $A$ est un quart de plan (convexe mais tronqué), $B$ est la réunion des deux droites $y=x$ et $y=-x$ (stable par dilatation, mais « troué » entre les deux droites).