Inclusion et égalité des dimensions

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 7 — L'espace des n-uplets réels, sous-espaces vectoriels et applications linéaires · Sous-espaces vectoriels et sous-espace engendré

Énoncé

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $R^{n}$ tels que $F \subset G$ et $dim F = dim G$ . Montrer que $F = G$ . En déduire que si $F \subset G$ avec $dim F < dim G$ , il existe un vecteur de $G$ qui n'appartient pas à $F$ .

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'employer. Le résultat admis du cours : dans un sous-espace vectoriel de dimension $p$ , toute famille libre de $p$ vecteurs est une base. C'est lui qui fait tout le travail.

Première partie. Notons $p = dim F = dim G$ .

Cas $p = 0$ . Alors $F = {0}$ et $G = {0}$ , donc $F = G$ .

Cas $p \geq 1$ . Choisissons une base $(e_{1}, \dots, e_{p})$ de $F$ . Cette famille est libre dans $F$ ; comme $F \subset G$ , ses vecteurs appartiennent à $G$ et la famille reste libre dans $G$ (une relation de dépendance ne dépend que des vecteurs, pas de l'espace où on les regarde). C'est donc une famille libre de $p$ vecteurs dans $G$ , qui est de dimension $p$ : d'après le résultat admis, c'est une base de $G$ . Par conséquent

$G = Vect (e_{1}, \dots, e_{p}) = F .$

Seconde partie. Supposons $F \subset G$ et $dim F < dim G$ . Si tout vecteur de $G$ appartenait à $F$ , on aurait $G \subset F$ , donc $F = G$ et en particulier $dim F = dim G$ — ce qui contredit l'hypothèse. Il existe donc au moins un vecteur de $G$ hors de $F$ .

Le point délicat. L'inclusion seule ne suffit pas à conclure l'égalité, et l'égalité des dimensions seule non plus : $Vect ((1, 0))$ et $Vect ((0, 1))$ ont la même dimension et sont différents. Ce sont bien les deux hypothèses ensemble qui donnent le résultat.

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