Injectivité et noyau

Sens direct. Supposons $f$ injective. Soit $x\in \ker f$, donc $f(x)=0$. Comme $f$ est linéaire, $f(0)=0$ également. L'injectivité donne alors $x=0$. Donc $\ker f\subset \{0\}$, et l'autre inclusion est acquise : $\ker f=\{0\}$.

Réciproque. Supposons $\ker f=\{0\}$ et soient $x,x^{\prime }$ tels que $f(x)=f(x^{\prime })$. Par linéarité,

$$f(x-x^{\prime })=f(x)-f(x^{\prime })=0,$$

donc $x-x^{\prime }\in \ker f=\{0\}$, c'est-à-dire $x=x^{\prime }$. Donc $f$ est injective.

Ce que cela apporte. Tester l'injectivité, c'est en principe comparer toutes les paires de points. Ici la linéarité ramène tout à un seul calcul : résoudre $f(x)=0$. C'est la raison pour laquelle, en algèbre linéaire, l'injectivité se lit sur une seule équation — et pourquoi elle équivaut, en dimension finie et pour une application linéaire d'un espace dans lui-même, à la surjectivité, via le théorème du rang.