mathématiques appliquées (ECG 1re année) · Chapitre 7 · Exercice
Intersection oui, réunion non
L'espace des n-uplets réels, sous-espaces vectoriels et applications linéaires · Sous-espaces vectoriels · niveau 2
Énoncé
Montrer que si et sont deux sous-espaces vectoriels de , alors en est un. Est-ce vrai de ?
Corrigé
L'intersection est un sous-espace. Elle contient , qui appartient à et à . Et si et , alors appartient à (car est un sous-espace) et à pour la même raison, donc à .
La réunion, en général, non. Prenons dans les deux droites et . Alors et sont dans , mais leur somme n'est ni sur l'une ni sur l'autre droite. La stabilité par addition est en défaut.
Le cas d'exception. est un sous-espace si et seulement si l'un des deux contient l'autre — et il se réduit alors au plus grand. C'est pour combler ce défaut qu'on introduit la somme : le plus petit sous-espace contenant .
