Intersection oui, réunion non

L'intersection est un sous-espace. Elle contient $0$, qui appartient à $F$ et à $G$. Et si $x,y\in F\cap G$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$, alors $\lambda x+\mu y$ appartient à $F$ (car $F$ est un sous-espace) et à $G$ pour la même raison, donc à $F\cap G$.

La réunion, en général, non. Prenons dans ${\mathbb{R}}^2$ les deux droites $F=\mathrm{Vect}\left(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\right)$ et $G=\mathrm{Vect}\left(\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\right)$. Alors $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ sont dans $F\cup G$, mais leur somme $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ n'est ni sur l'une ni sur l'autre droite. La stabilité par addition est en défaut.

Le cas d'exception. $F\cup G$ est un sous-espace si et seulement si l'un des deux contient l'autre — et il se réduit alors au plus grand. C'est pour combler ce défaut qu'on introduit la somme $F+G$ : le plus petit sous-espace contenant $F\cup G$.