L'intersection de deux plans de l'espace

$F\cap G$ est un sous-espace vectoriel. C'est l'ensemble des solutions du système linéaire homogène

$$\{\begin{array}{rl}x+y+z& =0\\ x-y+2z& =0\end{array}$$

et le cours établit que l'ensemble des solutions d'un système homogène est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$. (On peut aussi invoquer le fait qu'une intersection de deux sous-espaces vectoriels en est un.)

Résolution. Retranchons la deuxième ligne de la première :

$$(x+y+z)-(x-y+2z)=2y-z=0,\text{donc }z=2y.$$

En reportant dans la première équation : $x=-y-z=-y-2y=-3y$. Ainsi

$$(x,y,z)\in F\cap G⟺(x,y,z)=y(-3,1,2),y\in \mathbb{R}.$$

Base et dimension. On en déduit $F\cap G=\mathrm{Vect}((-3,1,2))$. La famille formée du seul vecteur $(-3,1,2)$ est libre, car ce vecteur n'est pas nul ; elle est génératrice de $F\cap G$ par ce qui précède. C'est donc une base, et $\dim (F\cap G)=1$ : l'intersection est une droite vectorielle.

Vérification. $-3+1+2=0$ et $-3-1+4=0$ : le vecteur trouvé appartient bien aux deux plans. Enfin $F\ne G$, puisque $(1,-1,0)$ appartient à $F$ et pas à $G$ ($1+1+0=2\ne 0$) : deux plans distincts de ${\mathbb{R}}^3$ se coupent bien selon une droite.