La dimension d'un espace engendré

Notons $u=(1,0,1)$, $v=(2,0,2)$, $w=(0,1,0)$ et $F=\mathrm{Vect}(u,v,w)$.

Un générateur superflu. On a $v=2u$. Donc toute combinaison linéaire de $u,v,w$ se réécrit comme combinaison de $u$ et $w$ seulement :

$$au+bv+cw=au+2bu+cw=(a+2b)u+cw.$$

Réciproquement toute combinaison de $u$ et $w$ est une combinaison de $u,v,w$ (avec le coefficient $0$ devant $v$). Donc $F=\mathrm{Vect}(u,w)$.

La famille $(u,w)$ est libre. Si $au+cw=(a,c,a)=(0,0,0)$, alors $a=0$ et $c=0$. (On peut aussi dire que $u$ et $w$ ne sont manifestement pas proportionnels.)

Conclusion. $(u,w)=((1,0,1),(0,1,0))$ est libre et génératrice de $F$ : c'est une base de $F$, et $\dim F=2$. Le rang de la famille de départ vaut donc $2$ : $F$ est un plan de ${\mathbb{R}}^3$.