Le rang d'une matrice à paramètre

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 7 — L'espace des n-uplets réels, sous-espaces vectoriels et applications linéaires · Rang d'une matrice

Énoncé

Soit $M_{m} = 111 1 m 1 11 m$ et $f : X \mapsto M_{m} X$ , de $R^{3}$ dans $R^{3}$ . Déterminer $rg (M_{m})$ et $dim ker f$ selon la valeur de $m$ .

Corrigé

Le rang se lit indifféremment sur les colonnes ou sur les lignes, puisque $rg (M) = rg (^{t} M)$ . Travaillons sur les lignes, où le pivot est immédiat.

Pivot. En remplaçant $L_{2}$ par $L_{2} - L_{1}$ et $L_{3}$ par $L_{3} - L_{1}$ , opérations qui ne changent pas l'espace engendré par les lignes :

$L_{1} = (1, 1, 1), L_{2} - L_{1} = (0, m - 1, 0), L_{3} - L_{1} = (0, 0, m - 1) .$

Premier cas : $m \neq = 1$ . Les trois lignes obtenues sont non nulles et « en escalier » : une combinaison nulle impose, en regardant la troisième coordonnée puis la deuxième puis la première, que tous les coefficients soient nuls. Elles sont libres, donc $rg (M_{m}) = 3$ . Le théorème du rang donne $dim ker f = 3 - 3 = 0$ , c'est-à-dire $ker f = {0}$ : $M_{m}$ est inversible.

Second cas : $m = 1$ . Les deux dernières lignes deviennent nulles : la matrice a ses trois lignes égales à $(1, 1, 1)$ . Le rang vaut donc $1$ , et $dim ker f = 3 - 1 = 2$ . Le noyau est le plan d'équation $x + y + z = 0$ .

Le point délicat. Le rang ne prend ici que deux valeurs, $3$ et $1$ : il ne passe pas par $2$ . C'est que les deux lignes du pivot s'annulent pour la même valeur du paramètre.

Le point à retenir. Un pivot mené avec un paramètre au dénominateur est faux : ici on n'a jamais divisé par $m - 1$ , on a seulement soustrait des lignes, et c'est ce qui permet de discuter à la fin.

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