Le rang ne peut pas dépasser

La majoration par $m$. $\mathrm{Im}f$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^m$, et $\mathrm{rg}(M)=\dim \mathrm{Im}f$. Une base de $\mathrm{Im}f$ est une famille libre de ${\mathbb{R}}^m$ ; or dans un espace de dimension $m$, toute famille libre a au plus $m$ vecteurs. Donc $\mathrm{rg}(M)\le m$.

La majoration par $n$. Le théorème du rang donne

$$\dim \ker f+\mathrm{rg}(M)=n,$$

et $\dim \ker f\ge 0$, donc $\mathrm{rg}(M)\le n$. Les deux majorations ensemble donnent $\mathrm{rg}(M)\le \min (n,m)$.

Cas injectif. Si $f$ est injective et si $X\in \ker f$, alors $f(X)=0=f(0)$, donc $X=0$ : le noyau est réduit à $\{0\}$ et $\dim \ker f=0$. Le théorème du rang donne alors $\mathrm{rg}(M)=n$. Combiné à $\mathrm{rg}(M)\le m$, cela impose $n\le m$.

Cas surjectif. Si $f$ est surjective, $\mathrm{Im}f={\mathbb{R}}^m$, donc $\mathrm{rg}(M)=m$. Combiné à $\mathrm{rg}(M)\le n$, cela impose $m\le n$.

Ce que cela interdit. Aucune application linéaire de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^2$ n'est injective, et aucune de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^3$ n'est surjective : les dimensions décident avant tout calcul.

Le point à retenir. Le théorème du rang est une égalité entre trois nombres ; en y injectant une inégalité triviale — une dimension est positive, un sous-espace ne dépasse pas son espace — on en tire des impossibilités.