Le rang par un pivot

def rang(M, tol=1e-9):
    A = [ligne[:] for ligne in M]      # on ne modifie pas l'appelant
    n, p = len(A), len(A[0])
    r = 0                              # ligne du pivot courant
    for c in range(p):
        # cherche le plus grand pivot de la colonne c, sous la ligne r
        piv = max(range(r, n), key=lambda i: abs(A[i][c]), default=None)
        if piv is None or abs(A[piv][c]) < tol:
            continue                   # colonne sans pivot : on passe
        A[r], A[piv] = A[piv], A[r]
        for i in range(r + 1, n):
            f = A[i][c] / A[r][c]
            for j in range(c, p):
                A[i][j] = A[i][j] - f * A[r][j]
        r = r + 1
        if r == n:
            break
    return r

Sur la matrice $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$, dont la troisième ligne est la première moins la deuxième, la fonction renvoie $2$, comme np.linalg.matrix_rank(M).

Deux choix qui comptent. On prend le plus grand pivot disponible en valeur absolue : c'est le pivot partiel, et il limite l'amplification des erreurs d'arrondi. Et l'on compare à une tolérance plutôt qu'à zéro — en flottants, un pivot théoriquement nul vaut souvent $10^{-17}$, et le tester par == 0 ferait compter un pivot de plus.

Ce qui reste fragile. Le rang est une notion discontinue : une matrice de rang $2$ devient de rang $3$ sous une perturbation arbitrairement petite. Aucun seuil ne peut donc être le bon dans tous les cas — numpy en choisit un lié à la taille et à la plus grande valeur singulière, ce qui est plus fin que notre tol fixe.