Les solutions d'un système homogène

C'est un sous-espace vectoriel. $F$ est l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène à trois inconnues ; le cours établit qu'un tel ensemble est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$.

Résolution. La seconde équation donne $y=z$. En reportant dans la première :

$$x-2z+z=0,\text{donc}x=z.$$

Un vecteur de $F$ s'écrit donc $(z,z,z)=z(1,1,1)$ avec $z\in \mathbb{R}$, et réciproquement tout vecteur de cette forme est dans $F$ (on vérifie : $1-2+1=0$ et $1-1=0$).

Base et dimension.

$$F=\mathrm{Vect}((1,1,1)).$$

Le vecteur $(1,1,1)$ est non nul : la famille qu'il forme est libre, et elle engendre $F$. C'est donc une base de $F$, et $\dim F=1$ : $F$ est une droite vectorielle de ${\mathbb{R}}^3$.