Noyau et image d'un projecteur

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 7 — L'espace des n-uplets réels, sous-espaces vectoriels et applications linéaires · Applications linéaires : noyau et image

Énoncé

Soit $f : R^{n} \to R^{n}$ linéaire telle que $f \circ f = f$ . Montrer que $ker f$ et $Im f$ n'ont que $0$ en commun, puis que leurs dimensions se somment en $n$ .

Corrigé

L'intersection est réduite à $0$ . Soit $y \in ker f \cap Im f$ . Comme $y$ est dans l'image, il existe $x$ avec $y = f (x)$ . Alors

$y = f (x) = f (f (x)) = f (y) = 0,$

la deuxième égalité venant de $f \circ f = f$ et la dernière de $y \in ker f$ . Donc $ker f \cap Im f = {0}$ .

Les dimensions. Le théorème du rang, appliqué à $f : R^{n} \to R^{n}$ , donne directement

$dim ker f + dim Im f = n .$

Conclusion plus forte. Les deux résultats réunis disent que $R^{n} = ker f \oplus Im f$ : la somme est directe (premier point) et les dimensions se complètent (second point). Tout vecteur se décompose de manière unique en $x = \in k e r f (x - f (x)) + \in Im f f (x)$ — on vérifie bien $f (x - f (x)) = f (x) - f (x) = 0$ .

C'est exactement ce qu'est un projecteur : il projette sur son image, parallèlement à son noyau.

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