Noyau et rang d'une matrice $2 \times 2$

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 7 — L'espace des n-uplets réels, sous-espaces vectoriels et applications linéaires · Matrices, noyau et image

Énoncé

Soit $M = (1224)$ et $f : R^{2} \to R^{2}$ , $X \mapsto M X$ . Déterminer $ker f$ , $rg (M)$ , et vérifier le théorème du rang.

Corrigé

Le noyau. $(x, y) \in ker f$ si et seulement si

${x + 2 y 2 x + 4 y = 0 = 0$

La seconde équation est le double de la première : elle n'apporte rien. Il reste $x = - 2 y$ , donc

$ker f = {(- 2 y, y) ∣ y \in R} = Vect ((- 2, 1)), dim ker f = 1,$

le vecteur $(- 2, 1)$ étant non nul, donc formant une famille libre et génératrice du noyau.

Le rang. Les colonnes de $M$ sont $C_{1} = (1, 2)$ et $C_{2} = (2, 4) = 2 C_{1}$ . L'image est donc $Vect (C_{1})$ , une droite : $rg (M) = 1$ .

Le théorème du rang.

$dim ker f + rg (M) = 1 + 1 = 2 = dim R^{2} . ✓$

Conséquence. Le rang n'est pas maximal, donc $M$ n'est pas inversible, et $f$ n'est ni injective ni surjective.

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Noyau et rang d'une matrice 2×2

Énoncé

Corrigé

Noyau et rang d'une matrice $2 \times 2$