Quatre vecteurs de l'espace, et une base extraite

Toute famille de quatre vecteurs de ${\mathbb{R}}^3$ est liée. Le cours admet que dans un espace de dimension $n$, une famille libre a au plus $n$ vecteurs. Ici $\dim {\mathbb{R}}^3=3<4$ : une famille de quatre vecteurs ne peut pas être libre, elle est donc liée.

Extraction. Notons $u_1=(1,0,1)$, $u_2=(2,1,0)$, $u_3=(0,1,-2)$ et $u_4=(1,1,1)$.

Une relation de dépendance. On calcule $u_2-2u_1=(2-2,1-0,0-2)=(0,1,-2)=u_3$. Donc $u_3=u_2-2u_1$ : le vecteur $u_3$ est superflu, et $\mathrm{Vect}(u_1,u_2,u_3,u_4)=\mathrm{Vect}(u_1,u_2,u_4)$.

La famille restante est libre. Cherchons $a,b,c$ tels que $a{u}_1+b{u}_2+c{u}_4=0$, soit

$$\{\begin{array}{rl}a+2b+c& =0\\ b+c& =0\\ a+c& =0\end{array}$$

Les deux dernières donnent $b=-c$ et $a=-c$. En reportant dans la première : $-c-2c+c=-2c=0$, donc $c=0$, puis $a=b=0$. La famille $(u_1,u_2,u_4)$ est libre.

Conclusion. $(u_1,u_2,u_4)$ est libre et génératrice de $\mathrm{Vect}(u_1,u_2,u_3,u_4)$ : c'est une base de cet espace, qui est donc de dimension $3$. Comme il s'agit d'un sous-espace de ${\mathbb{R}}^3$ de dimension $3$, c'est ${\mathbb{R}}^3$ tout entier — la famille de départ est génératrice de ${\mathbb{R}}^3$.

Attention. L'extraction n'est pas unique : $(u_1,u_3,u_4)$ convient aussi. Ce qui est unique, c'est le nombre de vecteurs conservés, à savoir le rang de la famille.