Rang, noyau, image

Rang. La troisième ligne est la première moins la deuxième : $L_3=L_1-L_2$. La famille des trois lignes est donc liée, et comme $L_1$ et $L_2$ ne sont pas proportionnelles, $\mathrm{rg}(M)=2$.

Noyau. $MX=0$ s'écrit $\{\begin{array}{l}x+y=0\\ y+z=0\\ x-z=0\end{array}$ La première donne $y=-x$, la deuxième $z=-y=x$, et la troisième, $x=z$, est alors automatiquement vérifiée : elle n'apporte rien, ce que le rang annonçait. Donc

$$\ker f=\mathrm{Vect}\left(\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)\right),\dim \ker f=1.$$

(Vérification : $M\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

Image. Elle est engendrée par les colonnes $C_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, $C_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, $C_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$. Or $C_3=C_2-C_1$, et $C_1,C_2$ sont libres :

$$\mathrm{Im}f=\mathrm{Vect}(C_1,C_2),\dim \mathrm{Im}f=2.$$

Théorème du rang : $\dim \ker f+\mathrm{rg}(M)=1+2=3=\dim {\mathbb{R}}^3$. Il est vérifié.

On notera que la relation entre les colonnes ($C_3=C_2-C_1$) est exactement le vecteur du noyau lu à l'envers : $-C_1+C_2-C_3=0$ contre $(1,-1,1)$. Ce n'est pas une coïncidence — un élément du noyau est une relation entre les colonnes.