Trois candidats sous-espaces

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 7 — L'espace des n-uplets réels, sous-espaces vectoriels et applications linéaires · Sous-espaces vectoriels

Énoncé

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de $R^{3}$ ? ${(x, y, z) ∣ x = 2 y}$ , ${(x, y, z) ∣ x + y = 1}$ , ${(x, y, z) ∣ x y = 0}$ .

Corrigé

$F_{1} = {x = 2 y}$ : oui. Elle contient $(0, 0, 0)$ , et l'équation est linéaire homogène : si $x = 2 y$ et $x^{'} = 2 y^{'}$ , alors $λ x + μ x^{'} = 2 (λ y + μ y^{'})$ . C'est un plan vectoriel.

$F_{2} = {x + y = 1}$ : non. Le vecteur nul n'y est pas, puisque $0 + 0 = 0 \neq = 1$ . C'est un plan affine, translaté du précédent — il suffit de ce test pour conclure, et il coûte une ligne.

$F_{3} = {x y = 0}$ : non. Elle contient bien $0$ , mais l'équation n'est pas linéaire. Contre-exemple : $(1, 0, 0)$ et $(0, 1, 0)$ appartiennent à $F_{3}$ , leur somme $(1, 1, 0)$ non, car $1 \times 1 = 1 \neq = 0$ . La stabilité par addition est en défaut.

La méthode. Chercher d'abord si $0$ appartient à la partie : c'est le test le moins cher, et il tranche souvent. S'il passe, vérifier la stabilité par combinaison linéaire — une équation linéaire homogène la donne gratuitement, une équation produit ne la donne jamais.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.