Un plan et sa base

L'équation est linéaire homogène : son ensemble de solutions est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$.

On exprime $x$ en fonction des deux autres, qui restent libres. En posant $y=t$ et $z=s$ :

$$x=-2t+s,(x,y,z)=t(-2,1,0)+s(1,0,1),(t,s)\in {\mathbb{R}}^2.$$

Les deux vecteurs $(-2,1,0)$ et $(1,0,1)$ engendrent donc l'ensemble des solutions. Ils sont libres : leurs deux dernières coordonnées, $(1,0)$ et $(0,1)$, forcent $t=s=0$ dans toute combinaison nulle.

C'est donc une base, et la dimension vaut $2$ : une équation non triviale dans ${\mathbb{R}}^3$ définit un plan. Plus généralement, le rang du système est $1$, et le théorème du rang donne $3-1=2$.