Un rang maximal

Le théorème du rang donne $\dim \ker f=3-\mathrm{rg}(M)=3-3=0$, donc

$$\ker f=\{0\}\text{et }f\text{ est injective}.$$

Par ailleurs $\dim \mathrm{Im}f=\mathrm{rg}(M)=3=\dim {\mathbb{R}}^3$. Un sous-espace de ${\mathbb{R}}^3$ de dimension $3$ est ${\mathbb{R}}^3$ tout entier :

$$\mathrm{Im}f={\mathbb{R}}^3\text{et }f\text{ est surjective}.$$

$f$ est donc bijective, et $M$ est inversible.

Le point à retenir : pour une application linéaire d'un espace de dimension finie dans lui-même, injectif, surjectif, bijectif et « rang maximal » sont une seule et même condition. Vérifier l'une des quatre suffit — et c'est le théorème du rang qui les soude. En dimensions différentes au départ et à l'arrivée, rien de tel : une application de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^3$ ne peut jamais être surjective.