Un sous-espace donné par deux équations

C'est un sous-espace vectoriel. $F$ est l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène de deux équations à quatre inconnues. Le théorème du cours conclut directement : un tel ensemble est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^4$. On peut aussi le vérifier à la main — le quadruplet nul satisfait les deux équations, et si deux quadruplets les satisfont, toute combinaison linéaire les satisfait encore par linéarité de chaque membre de gauche.

Résolution. Les deux équations donnent $z=x+y$ et $t=-y$ ; $x$ et $y$ restent quelconques. Un élément de $F$ s'écrit donc

$$(x,y,x+y,-y)=x(1,0,1,0)+y(0,1,1,-1),(x,y)\in {\mathbb{R}}^2.$$

Génératrice. L'égalité ci-dessus, valable pour tout élément de $F$, montre que $F=\mathrm{Vect}((1,0,1,0),(0,1,1,-1))$.

Libre. Supposons $x(1,0,1,0)+y(0,1,1,-1)=(0,0,0,0)$. La première coordonnée donne $x=0$, la deuxième $y=0$ : les deux coefficients sont nuls, la famille est libre.

Conclusion. Ces deux vecteurs forment une base de $F$, et $\dim F=2$.

On peut le contrôler par le théorème du rang : $F$ est le noyau de l'application linéaire de ${\mathbb{R}}^4$ dans ${\mathbb{R}}^2$ de matrice $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 0\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right)$, dont les deux lignes ne sont pas proportionnelles : le rang vaut $2$, et $\dim \ker =4-2=2$.

Le point à retenir. Chaque équation indépendante retire une dimension. Deux équations dans ${\mathbb{R}}^4$ laissent un sous-espace de dimension $2$ — à condition qu'elles soient vraiment indépendantes.