Une application surjective

L'image. Elle est engendrée par les colonnes de $M$, vues comme vecteurs de ${\mathbb{R}}^2$ : $C_1=(1,0)$, $C_2=(0,1)$, $C_3=(2,3)$. Or $(C_1,C_2)$ est la base canonique de ${\mathbb{R}}^2$, donc

$$\mathrm{Im}f\supset \mathrm{Vect}(C_1,C_2)={\mathbb{R}}^2.$$

Comme $\mathrm{Im}f$ est de toute façon inclus dans ${\mathbb{R}}^2$, on a $\mathrm{Im}f={\mathbb{R}}^2$ : l'application $f$ est surjective, et $\mathrm{rg}(M)=2$.

(La troisième colonne ne change rien : $C_3=2C_1+3C_2$ appartient déjà à l'espace engendré par les deux premières.)

La dimension du noyau. Le théorème du rang s'applique avec $n=3$, la dimension de l'espace de départ :

$$\dim \ker f=3-\mathrm{rg}(M)=3-2=1.$$

Vérification. $MX=0$ s'écrit $x+2z=0$ et $y+3z=0$, soit $x=-2z$ et $y=-3z$ : $\ker f=\mathrm{Vect}((-2,-3,1))$, bien de dimension $1$.

À retenir. Une application linéaire de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^2$ ne peut jamais être injective : son noyau est de dimension au moins $3-2=1$.