Une application surjective

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 7 — L'espace des n-uplets réels, sous-espaces vectoriels et applications linéaires · Matrices, noyau et image

Énoncé

Soit $M = (100123)$ et $f : R^{3} \to R^{2}$ , $X \mapsto M X$ . Montrer que $f$ est surjective, puis déterminer $dim ker f$ .

Corrigé

L'image. Elle est engendrée par les colonnes de $M$ , vues comme vecteurs de $R^{2}$ : $C_{1} = (1, 0)$ , $C_{2} = (0, 1)$ , $C_{3} = (2, 3)$ . Or $(C_{1}, C_{2})$ est la base canonique de $R^{2}$ , donc

$Im f \supset Vect (C_{1}, C_{2}) = R^{2} .$

Comme $Im f$ est de toute façon inclus dans $R^{2}$ , on a $Im f = R^{2}$ : l'application $f$ est surjective, et $rg (M) = 2$ .

(La troisième colonne ne change rien : $C_{3} = 2 C_{1} + 3 C_{2}$ appartient déjà à l'espace engendré par les deux premières.)

La dimension du noyau. Le théorème du rang s'applique avec $n = 3$ , la dimension de l'espace de départ :

$dim ker f = 3 - rg (M) = 3 - 2 = 1.$

Vérification. $M X = 0$ s'écrit $x + 2 z = 0$ et $y + 3 z = 0$ , soit $x = - 2 z$ et $y = - 3 z$ : $ker f = Vect ((- 2, - 3, 1))$ , bien de dimension $1$ .

À retenir. Une application linéaire de $R^{3}$ dans $R^{2}$ ne peut jamais être injective : son noyau est de dimension au moins $3 - 2 = 1$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.