Une base de ${\mathbb{R}}^2$ et des coordonnées

La famille est libre. Si $a(1,1)+b(1,-1)=(0,0)$, alors

$$\{\begin{array}{rl}a+b& =0\\ a-b& =0\end{array}$$

En additionnant les deux lignes : $2a=0$, donc $a=0$, puis $b=0$. La famille est libre.

C'est une base. Elle compte $2$ vecteurs dans ${\mathbb{R}}^2$, espace de dimension $2$. Le résultat admis du cours — une famille libre de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$ est une base — permet de conclure directement, sans vérifier qu'elle est génératrice.

Les coordonnées de $(5,1)$. On cherche $a,b$ tels que $a(1,1)+b(1,-1)=(5,1)$, soit

$$\{\begin{array}{rl}a+b& =5\\ a-b& =1\end{array}$$

En additionnant : $2a=6$, donc $a=3$ ; en soustrayant : $2b=4$, donc $b=2$.

Vérification. $3(1,1)+2(1,-1)=(3+2,3-2)=(5,1)$. Les coordonnées de $(5,1)$ dans $\mathcal{B}$ sont donc $(3,2)$ — à ne pas confondre avec ses coordonnées $(5,1)$ dans la base canonique.