Une droite est un sous-espace vectoriel

Le vecteur nul appartient à $D$. Pour $(x,y)=(0,0)$ on a bien $y=0=3\times 0=3x$. Donc $(0,0)\in D$, et $D$ n'est pas vide.

Stabilité par combinaison linéaire. Soient $u=(x,y)$ et $u^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime })$ deux éléments de $D$, et $\lambda ,\mu$ deux réels. Alors $y=3x$ et $y^{\prime }=3x^{\prime }$. Le vecteur $\lambda u+\mu u^{\prime }$ a pour coordonnées $(\lambda x+\mu x^{\prime },\lambda y+\mu y^{\prime })$, et

$$\lambda y+\mu y^{\prime }=\lambda (3x)+\mu (3x^{\prime })=3(\lambda x+\mu x^{\prime }).$$

Sa seconde coordonnée est bien le triple de la première : $\lambda u+\mu u^{\prime }\in D$.

$D$ contient $0$ et est stable par combinaison linéaire : c'est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^2$.

Une base. Tout élément de $D$ s'écrit $(x,3x)=x(1,3)$, donc $D=\mathrm{Vect}((1,3))$. Le vecteur $(1,3)$ est non nul, donc la famille qu'il forme est libre ; elle est génératrice de $D$. C'est une base, et $\dim D=1$.