Une droite est un sous-espace vectoriel

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 7 — L'espace des n-uplets réels, sous-espaces vectoriels et applications linéaires · Sous-espaces vectoriels

Énoncé

Montrer, en revenant à la définition, que $D = {(x, y) \in R^{2} ∣ y = 3 x}$ est un sous-espace vectoriel de $R^{2}$ , et en donner une base.

Corrigé

Le vecteur nul appartient à $D$ . Pour $(x, y) = (0, 0)$ on a bien $y = 0 = 3 \times 0 = 3 x$ . Donc $(0, 0) \in D$ , et $D$ n'est pas vide.

Stabilité par combinaison linéaire. Soient $u = (x, y)$ et $u^{'} = (x^{'}, y^{'})$ deux éléments de $D$ , et $λ, μ$ deux réels. Alors $y = 3 x$ et $y^{'} = 3 x^{'}$ . Le vecteur $λ u + μ u^{'}$ a pour coordonnées $(λ x + μ x^{'}, λ y + μ y^{'})$ , et

$λ y + μ y^{'} = λ (3 x) + μ (3 x^{'}) = 3 (λ x + μ x^{'}) .$

Sa seconde coordonnée est bien le triple de la première : $λ u + μ u^{'} \in D$ .

$D$ contient $0$ et est stable par combinaison linéaire : c'est un sous-espace vectoriel de $R^{2}$ .

Une base. Tout élément de $D$ s'écrit $(x, 3 x) = x (1, 3)$ , donc $D = Vect ((1, 3))$ . Le vecteur $(1, 3)$ est non nul, donc la famille qu'il forme est libre ; elle est génératrice de $D$ . C'est une base, et $dim D = 1$ .

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