Une équation cartésienne pour un Vect

On note $u=(1,2,1)$, $v=(2,1,-1)$ et $w=(0,3,3)$.

Étape 1 — la dimension. On remarque que $2u-v=(2-2,4-1,2+1)=(0,3,3)=w$. Le vecteur $w$ est donc combinaison linéaire de $u$ et $v$, si bien que $F=\mathrm{Vect}(u,v)$. La famille $(u,v)$ est libre : $u$ et $v$ ne sont pas proportionnels, car $\frac{2}{1}=2$ alors que $\frac{1}{2}\ne 2$. Une famille libre et génératrice de $F$ étant une base de $F$, on obtient $\dim F=2$.

Étape 2 — l'équation. Un vecteur $(x,y,z)$ appartient à $F$ si et seulement s'il existe deux réels $a,b$ tels que $(x,y,z)=au+bv$, c'est-à-dire

$$\{\begin{array}{rl}a+2b& =x\\ 2a+b& =y\\ a-b& =z\end{array}$$

Les deux premières équations forment un système de deux équations aux deux inconnues $a$ et $b$, dont le seul couple solution est $a=\frac{2y-x}{3}$ et $b=\frac{2x-y}{3}$ (on résout par combinaison : $2\times$ la deuxième moins la première donne $3a=2y-x$).

Il reste à écrire que ce couple vérifie aussi la troisième équation :

$$a-b=\frac{2y-x}{3}-\frac{2x-y}{3}=\frac{3y-3x}{3}=y-x.$$

Le système est donc compatible si et seulement si $z=y-x$, autrement dit

$$F=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x-y+z=0\}.$$

Vérification. $1-2+1=0$, $2-1-1=0$ et $0-3+3=0$ : les trois générateurs satisfont bien l'équation. Et l'ensemble des solutions de cette équation homogène est de dimension $2$, comme $F$ — les deux descriptions coïncident.