Une famille en escalier

On note $(e_1,\dots ,e_n)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^n$, de sorte que $v_k=e_1+e_2+\cdots +e_k$.

Étape 1 — la famille est génératrice. Pour $2\le k\le n$,

$$v_k-v_{k-1}=(e_1+\cdots +e_k)-(e_1+\cdots +e_{k-1})=e_k,$$

et $v_1=e_1$. Chaque vecteur $e_k$ de la base canonique est donc combinaison linéaire de $v_1,\dots ,v_n$, donc appartient à $F=\mathrm{Vect}(v_1,\dots ,v_n)$. Comme $F$ est stable par combinaison linéaire et contient tous les $e_k$, il contient toutes leurs combinaisons linéaires, c'est-à-dire ${\mathbb{R}}^n$ entier. Donc $F={\mathbb{R}}^n$ : la famille est génératrice.

Étape 2 — conclure. La famille $(v_1,\dots ,v_n)$ compte $n$ vecteurs et engendre ${\mathbb{R}}^n$, qui est de dimension $n$. Le résultat admis du cours — une famille génératrice de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$ est une base — permet de conclure : c'est une base de ${\mathbb{R}}^n$.

Une vérification directe de la liberté, pour ceux qui préfèrent. Supposons $a_1{v}_1+\cdots +a_n{v}_n=0$. La dernière coordonnée de cette somme vaut $a_n$ (seul $v_n$ a une $n$-ième coordonnée non nulle), donc $a_n=0$. La coordonnée $n-1$ vaut alors $a_{n-1}+a_n=a_{n-1}$, donc $a_{n-1}=0$, et ainsi de suite en remontant : tous les coefficients sont nuls.

Illustration pour $n=3$. La famille est $((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1))$, et l'on retrouve bien $(1,1,1)-(1,1,0)=(0,0,1)$.