Une famille qui n'est pas libre

On remarque d'emblée que

$$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right):$$

le troisième vecteur est somme des deux premiers, il n'apporte rien au sous-espace engendré.

Les deux premiers, eux, ne sont pas proportionnels (le premier a une troisième coordonnée nulle, pas le second) : ils forment une famille libre.

Donc

$$\mathrm{Vect}(\dots )=\mathrm{Vect}\left(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)\right),\text{de dimension 2},$$

et ces deux vecteurs en forment une base. C'est un plan de ${\mathbb{R}}^3$.

Une famille génératrice n'est pas forcément une base : il a fallu en retirer un vecteur. Le nombre de générateurs ($3$) majore la dimension, il ne la donne pas.